钢筋混凝土构件限制裂缝宽度的配筋计算

　　钢筋混凝土构件除了可能由于强度不足而使结构失效外，还可能由于变形过大或裂缝宽度超过规范允许值，使结构不能正常使用，因此，设计中除了对结构进行强度计算外，还需根据使用要求对构件进行变形和裂缝宽度计算，使构件在满足强度控制的条件下，满足变形或裂缝限值的控制。

　　《钢筋混凝土结构设计规范》（GB50010—2002）对裂缝宽度验算是在正常使用极限状态下进行，即在承载力极限状态已完成后的验算，此时的条件是构件截面的配筋已知。但常见的情况是，满足强度控制的用钢量不一定能满足构件变形和裂缝宽度控制的要求，故对裂缝宽度有严格要求的构件，当验算裂缝宽度超过规范允许值时，往往要凭设计人员的经验对构件截面尺寸或用钢量进行调整，其结果或大或小，很难一次性找出它的最佳值。

　　本文根据规范公式，通过数学变换，推导出钢筋混凝土受弯、受拉和偏心受压构件限制裂缝宽度的截面配筋率计算通式，使计算根据已知条件一次完成，避免了裂缝宽度验算凭经验调整的不足。同时，可将所求限制裂缝宽度的配筋与所求正截面强度的配筋进行比较，确定设计配筋的控制目标。

　　二、公式推导

　　《钢筋混凝土结构设计规范》（GB50010—2002）第8.1.2条规定：在矩形、T形、倒T形和I形截面的钢筋混凝土受拉、受弯和偏心受压构件及预应力混凝土轴心受拉和受弯构件中，按荷载效应的标准组合并考虑长期作用影响的最大裂缝宽度（mm）可按下列公式计算：

　　w_max=α_crψσ_sk/E_s（1.9c+0.08d_eg/ρ_te）　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （1）

　　ψ=1.1－0.65f_tk/ρ_teσ_sk（2）

　　ρ_te——按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率。

　　当ρ_te＜0.01时，取ρ_te＝　　　 0.01

　　A_te——有效受拉混凝土截面面积，对轴心受拉构件：取全截面面积；

　　对受弯、偏拉、偏压构件：A_te=0.5bh+（b_f－b）h_f 　　　　　　　　　　（3）

　　　 式（1）、（2）中其它符号意义详见规范

　　　 将式（2）代入式（1）并整理得：

　　w_max=α_cr（0.088 d_eg－1.235c×f_tk/_eσ_sk）×（σ_sk/E_s）×（1/ρ_te）－α_cr×（0.052 f_tk d_eg/σ_sk）×（σ_sk/E_s）×1/ρ_te²+20.9cα_cr（σ_sk/E_s）　　　　　　　　　　　　　　　　（4）

　　式（2）中，令：

　　β=（1.1－ψ）/0.65　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （5）

　　将式（5）代入式（2）并整理得：

　　1/ρ_te=β×（σ_sk/f_tk）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（6）

　　将式（6）代入式（4）并表达成σ_sk的二次方程得：

　　[α_cr d_eg(0.088β-0.052β²)/ w_max f_tk E_s] σ_sk²+[α_cr c(2.09-1.235β)/ w_max E_s] σ_sk－1=0　 （7）

　　　 又由规范知，不同受力构件的纵向钢筋应力计算也不同，如受弯构件：

　　　 σ_sk=M_k/0.87h₀A_s　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（8）

　　　 对于钢筋混凝土构件，

　　　 A_s=A_teρ_te 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （9）

　　　 将式（9）代入式（8）并得：

　　　 σ_sk=M_k/0.87h₀A_sρ_te　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（10）

　　　　 式（10）中令：

　　　 ξ= M_k/0.87h₀A_te（11）

　　　　 将式（11）代入式（10）并表达成σ_sk与ρ_te关系式得：

　　　　 σ_sk=ξ/ρ_te（12）

　　　　 同理，对于其它受力情况的σ_sk也可表达成与ρ_te的关系式，见表（1）。

　　表1　 σ_sk表达成与ρ_te的关系式

　　　 将式（12）代入出境（7）并表达成ρ_te的二次方程式得：

　　[α_cr d_eg(0.088β-0.052β²)/ w_max f_tk E_s]×（ξ/ρ_te）²+[α_cr c(2.09-1.235β)/ w_max E_s] ×（ξ/ρ_te）－1=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（13）

　　解式（13）方程得：

　　　 ρ_te=[m₁+√（m₁²+m₂）]/2（%）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（14）

　　　 式（14）中：

　　m₁=123.5α_crξc（1.6923－β）/ w_max E_s（15）

　　　 m₂=2080α_crξ² d_egβ（1.6923－β）/ w_max f_tk E_s　　　　　　　　　　　　　　（16）

　　　 式（14）是钢筋混凝土受拉、受弯和偏心受压构件限制裂缝宽度的截面配筋率计算线通用公式，应用该式可按已知条件一次计算完成。

　　三、β值计算

　　将式（12）代入式（2）并整理得：

　　ψ=1.1－0.65f_tk/ξ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （17）

　　将式（5）代入（17）得：

　　β= f_tk/ξ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （18）

　　式（18）为β值计算式。

　　又由规范知，0.20≤ψ≤1.0，故

　　当ψ=0.20时，由式（5）得：β=1.3846

　　当ψ=1.0时， 由式（5）得：β=0.1538

　　所以，β值的范围为：0.1538≤β≤1.3846

　　四、计算实例

　　例[1]：已知矩形截面梁b×h=250mm×500mm，M_k=172kN.m，混凝土强度等级C25，用HRB400钢筋，混凝土保护层厚度c=25mm，最大裂缝限制宽度w_lim=0.3mm，求纵向钢筋截面积^[2]。

　　解：根据已知条件知：α_cr=2.1；f_tk=1.78N/mm²，E_s=2×10⁵ N/mm²，预选φ22

　　　 a_s=c+d/2=25+22/2=36mm WWW.CADWATER.COM

　　　 h_o=h－a_s=500－36=464mm

　　　 ξ= M_k/0.87h₀A_te=172×10⁶/（0.87×464×0.5×250×500）=6.8173N/mm²

　　β=f_tk/ξ=1.78/6.8173=0.2611

　　　 m₁= 123.5α_crξc（1.6923－β）/ w_max E_s

　　　　 =123.5×2.1×6.8173×25（1.6923－0.2611）/（0.3×2×10⁵）=1.0544

　　　 m₂=2080α_crξ² d_egβ（1.6923－β）/ w_max f_tk E_s

　　　　 =2080×2.1×6.8173²×22×0.2611（1.6923－0.2611）/（0.3×1.78×2×10⁵）=15.6267

　　　 ρ_te=[m₁+√（m₁²+m₂）]/2（%）=[1.0544+√(1.0544²+15.6267)]/2=2.57%

　　　 A_s=A_teρ_te =0.5×250×500×2.57%=1608mm²

　　 正截面强度计算：A_s=1222mm²

　　 比较两项，若要控制裂缝宽度取A_s=1608mm²。

　　 如果用原例中A_s=1222mm²来验算裂缝宽度，其裂缝宽度验算值为w_lim=0.48mm，很明显，这个验算值已不能满足最大裂缝控制的要求。若要进行裂缝宽度控制，则必须调整纵筋面积，此时就要凭设计人员的经验进行，其结果或大或小，很难一次性满足控制要求。显然，要使所选用的钢筋恰好满足最大裂缝宽度控制，用验算的方法是很困难的。

　　例[2]：矩形截面偏心受拉构件截面尺寸b×h=160mm×200mm，N_k=144kN，偏心距e=30mm，混凝土强度等级C25，用HRB400钢筋，混凝土保护层厚度c=25mm，最大裂缝限制宽度w_lim=0.3mm，求纵筋截面积^[2]。

　　解：根据已知条件知：α_cr=2.4；f_tk=1.78N/mm²，E_s=2×10⁵ N/mm²，预选φ16

　　　 a_s=c+d/2=33mm

　　　 h_o=h－a_s=167mm

　　　 e=e₀+h/2－a_s=97mm

　　　 ξ= N_ke/ A_te（h₀－a_s）=6.5149N/mm²

　　  β= f_tk/ξ=0.2732

　　　 m₁= 123.5α_crξc（1.6923－β）/ w_max E_s=1.1418

　　　 m₂=2080α_crξ² d_egβ（1.6923－β）/ w_max f_tk E_s=12.3064

　　　 ρ_te=[m₁+√（m₁²+m₂）]/2（%）=2.42%

　　　 A_s=A_s^/=A_teρ_te =0.5×160×200×2.42%=387mm²

　　 本例计算表明，当该构件裂缝宽度要求控制在w_lim=0.3mm时，截面纵筋面积只需要A_s=A_s^/=387mm²。原例按A_s=A_s^/=402mm²进行验算，验算裂缝宽度w_lim=0.281mm＜w_lim=0.3mm。

　　例[3]：矩形截面偏心受压构件截面尺寸b×h=400mm×600mm，柱的计算长度l₀=4.0m，N_k=324kN，M_k=162kN.m，混凝土强度等级C30，用HRB400钢筋，混凝土保护层厚度c=40mm，最大裂缝限制宽度w_lim=0.2mm，求纵筋截面积（对称配筋）^[2]。

　　解：根据已知条件知：α_cr=2.1；f_tk=2.01N/mm²，E_s=2×10⁵ N/mm²，预选φ22

　　　 l₀/h=400/600=6.67＜14，偏心距增大系数η_s=1.0

　　　 a_s=c+d/2=50mm

　　　 h_o=h－a_s=550mm

　　　 e₀= M_k/ N_k=162×10⁶/324×10³=500mm

　　　 e=η_se₀+h/2－a_s=750mm

　　　 z=[0.87－0.12（h_o/ e）²] h_o=443mm

　　　 ξ= N_k(e－z)A_tez =1.8711N/mm²

　　β=f_tk/ξ=1.0742

　　　 m₁= 123.5α_crξc（1.6923－β）/ w_max E_s=0.30

　　　 m₂=2080α_crξ² d_egβ（1.6923－β）/ w_max f_tk E_s=2.5258

　　　 ρ_te=[m₁+√（m₁²+m₂）]/2（%）=0.96%＜1.0%，取ρ_te=1.0%
　　　 A_s=A_s^/=A_teρ_te =0.5×400×600×1.0%=1200mm²

　　　 选用4φ20，A_s=A_s^/=1256mm²，计算结果同原例一致。

　　例[4]：矩形截面轴心受拉构件截面尺寸b×h=200mm×160mm，N_k=144kN，混凝土强度等级C25，用HRB400钢筋，混凝土保护层厚度c=25mm，最大裂缝限制宽度w_lim=0.2mm，求纵筋截面积^[2]。

　　解：根据已知条件知：α_cr=2.7；f_tk=1.78N/mm²，E_s=2×10⁵ N/mm²，预选φ16

　　　 ξ= N_k/A_te =4.50N/mm²

　　β=f_tk/ξ=0.3956

　　　 m₁= 123.5α_crξc（1.6923－β）/ w_max E_s=1.2161

　　　 m₂=2080α_crξ² d_egβ（1.6923－β）/ w_max f_tk E_s=13.1096

　　　 ρ_te=[m₁+√（m₁²+m₂）]/2（%）=2.52%

　　　 A_s=A_teρ_te =200×160×2.52%=806mm²

　　　 选用4φ16，A_s= 804mm²，计算结果同原例一致。

　　五、几点分析

　　1、混凝土保护层厚度及预选钢筋直径对配筋率的影响 CADWATER.COM

　　由本文配筋率计算公式计算结果表明（见表2），在相同的计算条件下，混凝土保护层厚度变化及钢筋直径变化对配筋率大小有直接的影响，即：

　　在钢筋直径确定的情况下，混凝土保护层厚度越大，其配筋率也随之增大，即保护层厚度每增加一个等级，其配筋率约以8%左右的比例增加。

　　在混凝土保护层厚度确定的情况下，钢筋直径越大，其配筋率也随之增大，即钢筋直径每增加一个等级，其配筋率约以5%左右的比例增加。

　　但这两种变化相比，混凝土保护层厚变化的影响较钢筋直径变化的影响要大。从以上分析知，本文公式所表现出的混凝土保护层厚度变化及钢筋直径变化对配筋率的影响，与制定规范公式的研究资料是吻合的。

　　表（2）是以本文计算实例[1]、[2]、[3]、[4]的基本计算条件，应用本文公式计算出的混凝土保护层厚度c变化及钢筋直径d_eg变化对配筋率影响的对比表。

表2　 混凝土保护层厚度及钢筋直径变化对配筋率的影响

　　通过表（2）可看出，对裂缝控制有严格要求的构件，在设计中，当混凝土保护层厚度有限制时，要慎重确定钢筋的直径；当选用钢筋直径受限时，要合理确定混凝土保护层厚度。

　　2、 受弯构件正截面强度配筋与限制裂缝宽度配筋的分析

　　笔者经过研究，对于受弯构件，按正截面强度计算的用钢量，一般不能满足构件裂缝宽度控制的要求，故对裂缝宽度有严格要求的受弯构件，应该确定合理的配筋率和用钢量。

　　表（3）是以本文计算实例[1]的基本计算条件，当荷载变化时，在ξ＜ξ_b的条件下，两种计算配筋量的对比表，从表中可看出，按正截面强度计算的用钢量，一般都不能满足构件裂缝宽度控的要求。表（3）中各参数单位同例[1]。

　　表3　 两种计算配筋量的对比表

　　附：参考文献
　　[1]：混凝土结构设计规范（GB50010-2002）
　　[2]：蓝宗建主编 蓝宗建 梁书亭 孟少平编著 混凝土结构设计原理 东南大学出版社 2002年4月